テイラー展開

テイラー展開とは

テイラー展開（Taylor expansion）とは、ある関数を、ある点のまわりで多項式（無限級数）として近似的に表す方法です。関数が十分に滑らか（微分可能）であれば、その関数を多項式で近似できます。

一般に、関数 \( f(x) \) を点 \( a \) のまわりで展開すると、次のように表されます。

\[
f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f”(a)}{2!}(x-a)^2 + \frac{f”'(a)}{3!}(x-a)^3 + \cdots
\]

マクローリン展開とは

テイラー展開において、\( a = 0 \) の場合の展開を特にマクローリン展開（Maclaurin expansion）と呼びます。

自然指数関数^[1]底をネイピア数 \( e \) とした指数関数 \( e^x \) を自然指数関数と呼びます。のマクローリン展開は、次のように表されます。

\[
e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}
\]

指数

指数とは指数とは、ある数（底）を何回かけるか（何乗するか）を表す数学的な概念です。式で表すと、次のようになります。\( a \) を底、\( x \) を指数と呼びます指数 \( x \) を変数とした関数 \( f(x) = a^x \)...

minnanods.com

2025.03.23