モーメント母関数とは
モーメント母関数（moment generating function; MGF）[1]モーメントを「積率」、モーメント母関数を「積率母関数」ともいいます。とは、確率変数の期待値や分散などを生み出すことのできる関数です[2]文字通り「母なる関数」です。。確率変数 \( X \) に対して、次のように定義されます。
\[
M_X(t) = E[e^{tX}]
\]
確率変数と確率分布
確率変数とは確率変数（random variable）とは、確率的な事象の結果を数値として表すために定義された関数です。例えば「コインを1回投げる」という試行を考えます。確率変数 \( X \) を「表が出たら1、裏が出たら0」と定義すると...
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2025.10.13
モーメント母関数の一意性
モーメント母関数が \( t=0 \) の付近で存在すれば、モーメント母関数と対応する確率分布が一意に決まるという性質があります[3]ある確率分布のモーメント母関数とある確率分布のモーメント母関数が一致するとき、それらは同じ確率分布であるといえます。。
モーメントとの関係
モーメント母関数をテイラー展開すると、次のようになります。
\[
M_X(t) = 1 + E[X]\,t + \frac{E[X^2]}{2!}t^2 + \frac{E[X^3]}{3!}t^3 + \cdots
\]
テイラー展開
テイラー展開とはテイラー展開（Taylor expansion）とは、ある関数を、ある点のまわりで多項式（無限級数）として近似的に表す方法です。関数が十分に滑らか（微分可能）であれば、その関数を多項式で近似できます。一般に、関数 \( f(...
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2025.10.12
n次モーメントは、 \( t=0 \) におけるn階微分で求められます。
\[
\;E[X] = M_X^{(n)}(0)
\]
期待値、分散との関係
期待値、分散と1次、2次モーメントとは次のような関係があります。
- 確率変数 \( X \) の期待値=1次モーメント：\( \;E[X] = M_X^{(1)}(0) \)
- 確率変数 \( X^2 \) の期待値=2次モーメント：\( \;E[X^2] = M_X^{(2)}(0) \)
期待値
期待値とは期待値（expected value）とは、確率変数の理論的な平均値を表します。離散型確率変数の期待値離散型確率変数 \( X \) がとりうる値を \( x \)、確率質量関数を \( p(x) = P(X = x) \) とす...
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2025.10.13
- 確率変数 \( X \) の分散：\( \;V[X] = E[X^2]-(E[X])^2 = M_X^{(2)}(0) – \bigl(M_X^{(1)}(0)\bigr)^2 \)
分散
分散とは分散（variance）とは、確率変数の値が期待値のまわりでどの程度ばらついているかを表す指標です。確率変数 \( X \) の分散は、次のように定義されます分散を \( \mathrm{Var}(X) \) と表す場合もあります。...
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2025.10.13
モーメント母関数の公式
- 線形変換： \( Y = aX + b \) のとき \( M_Y(t) = e^{bt} M_X(at) \)
- 独立な確率変数の和： \( M_{X+Y}(t) = M_X(t) \cdot M_Y(t) \)
