行列積とは
行列積（matrix product）とは、2つの行列の掛け算に相当する演算です。行列積は、再び行列を返します。
ただし数（スカラー）の掛け算とは異なり、行列積は順序が重要です。特別な場合を除き \(\mathbf{A}\mathbf{B} \neq \mathbf{B}\mathbf{A}\) です。
行列積の定義（2×2 行列）
\(\mathbf{A}, \mathbf{B}\) を 2×2 の正方行列とします。
\[
\mathbf{A} =
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}
\end{pmatrix},\quad
\mathbf{B} =
\begin{pmatrix}
b_{11} & b_{12} \\
b_{21} & b_{22}
\end{pmatrix}
\]
このとき、行列積 \(\mathbf{AB}\) は次のように定義されます。
\[
\mathbf{AB} =
\begin{pmatrix}
a_{11}b_{11} + a_{12}b_{21} & a_{11}b_{12} + a_{12}b_{22} \\
a_{21}b_{11} + a_{22}b_{21} & a_{21}b_{12} + a_{22}b_{22}
\end{pmatrix}
\]
行列積の計算例（2×2 行列）
例えば \(\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}, \mathbf{B} = \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix}\) の行列積は、次のように計算できます。
\[
\mathbf{AB} = \begin{pmatrix}
1\cdot 5 + 2\cdot 7 & 1\cdot 6 + 2\cdot 8 \\
3\cdot 5 + 4\cdot 7 & 3\cdot 6 + 4\cdot 8
\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} 19 & 22 \\ 43 & 50 \end{pmatrix}
\]
行列積の定義（一般）
\(\mathbf{A}\) を \(m \times n\) 行列、\(\mathbf{B}\) を \(n \times p\) 行列とすると、行列積 \(\mathbf{AB}\) は \(m \times p\) 行列になります。その \((i,j)\) 成分は、次のように定義されます。
\[
(\mathbf{AB})_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik} b_{kj}
\]
行列積の性質
- 結合律： \((\mathbf{A}\mathbf{B})\mathbf{C} = \mathbf{A}(\mathbf{B}\mathbf{C})\)
- 分配律： \(\mathbf{A}(\mathbf{B} + \mathbf{C}) = \mathbf{A}\mathbf{B} + \mathbf{A}\mathbf{C}\)
- スカラー倍： \(k(\mathbf{A}\mathbf{B}) = (k\mathbf{A})\mathbf{B} = \mathbf{A}(k\mathbf{B})\)
