組み合わせとは
組み合わせ（combination）とは、順序を考えずに n 個のものから k 個を選ぶ方法の数を表します。
組み合わせの数は、次のように表されます[1]\({n \choose k}\) と表記する場合もあります。。
\[
{}_{n}\mathrm{C}_{k} = \frac{n!}{k!\,(n-k)!}
\]
ここで、\( n! \) は階乗（factorial）を意味します（例：\( 5! = 5×4×3×2×1 \)）。
たとえば、10個の中から3個を選ぶ組み合わせは、次のように計算できます。
\[
{}_{10}\mathrm{C}_{3} = \frac{10×9×8}{3×2×1} = 120
\]
基本的な性質
- \( {}_{n}\mathrm{C}_{k} = {}_{n}\mathrm{C}_{n-k} \)（左右対称）
- \( {}_{n}\mathrm{C}_{0} = {}_{n}\mathrm{C}_{n} = 1 \) [2]\(0!=1\) を利用します。
- \( {}_{n}\mathrm{C}_{1} = {}_{n}\mathrm{C}_{n-1} = n \)
- \( \displaystyle \sum_{k=0}^{n} {}_{n}\mathrm{C}_{k} = 2^n \)
二項定理とは
二項定理（Binomial theorem）とは、二項式の n 乗を展開する公式です[3]二項分布の式変形などで利用されます。。
\[
(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} {}_{n}\mathrm{C}_{k}\, a^{n-k} b^{k}
\]
