確率母関数とは
確率母関数（probability generating function; PGF）とは、非負整数値をとる離散型確率変数の確率や、期待値、分散などを生み出すことのできる関数です[1]文字通り「母なる関数」です。。確率変数 \( X \) に対して、次のように定義されます。
\[
G_X(s) = E[s^X] = \sum_{k=0}^{\infty} P(X=k)s^k
\]
名前は似ていますが、モーメント母関数とは別の関数です。
確率母関数の一意性
確率母関数が \( s=1 \) の付近で存在すれば、確率母関数と対応する確率分布が一意に決まるという性質があります[2]非負整数値をとる確率変数について、確率母関数が一致すれば分布も一致します。。
確率との関係
確率母関数を級数展開すると、次のようになります。
\[
G_X(s) = p_0 + p_1 s + p_2 s^2 + p_3 s^3 + \cdots
\]
ここで、各係数は実現値 \(X=k\) となる確率 \( p_k = P(X=k) \) です。次のようにして、係数を取り出すことができます。つまり、確率母関数から実現値 \(X=k\) となる確率を求めることができます。
\[
P(X=k) = p_k = \frac{1}{k!}G_X^{(k)}(0)
\]
階乗モーメントとの関係
確率母関数を \(s\) で \(n\) 回微分し、\(s=1\) を代入したものが、n次階乗モーメントです。
\[
E[X(X-1)\cdots(X-n+1)] = G_X^{(n)}(1)
\]
期待値との関係
期待値と階乗モーメントとは、次のような関係があります。
- 確率変数 \( X \) の期待値＝1次階乗モーメント：\( \;E[X] = G_X^{(1)}(1) \)
- 確率変数 \( X^2 \) の期待値：\(\;E[X^2] = E[X(X-1)] + E[X] = G_X^{(2)}(1) + G_X^{(1)}(1)\)
分散との関係
分散と階乗モーメントとは、次のような関係があります。
- 確率変数 \( X \) の分散：
$$
\begin{aligned}
\;V[X] &= E[X^2]-(E[X])^2 \\
&= E[X(X-1)] + E[X]-(E[X])^2 \\
&= G_X^{(2)}(1) + G_X^{(1)}(1)-\bigl(G_X^{(1)}(1)\bigr)^2
\end{aligned}
$$
確率母関数の公式
- 整数倍の変換： \( Y = cX \) のとき \( G_Y(s) = G_X(s^c) \)（\(c\) は非負整数）
- 独立な確率変数の和： \( G_{X+Y}(s) = G_X(s) \cdot G_Y(s) \)
