期待値 | みんなのデータサイエンス

期待値とは

期待値（expected value）とは、確率変数の理論的な平均値を表します。

離散型確率変数 \( X \) がとりうる値を \( x \)、確率質量関数を \( p(x) = P(X = x) \) とすると、期待値は次のように定義されます。

\[
E[X] = \sum_{x} x \, p(x)
\]

離散型確率変数がとりうる値が有限個の場合には、添字を使って次のようにも書けます。これは、各 \( p_i \) が \( p(x_i) \) に対応していることを意味します。

\[
E[X] = \sum_i x_i p_i
\]

たとえば、サイコロを1回投げたときに出る目 \( X \) の期待値は、次のように計算できます。

\[
E[X] = \frac{1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6}{6} = 3.5
\]

「サイコロを1回投げたとき、理論的な平均値は3.5」と考えることができます。

連続型確率変数 \( X \) がとりうる値を \( x \)、その確率密度関数を \( f(x) \) とすると、期待値は次のように定義されます。

\[
E[X] = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) \, dx
\]

確率変数の和^[2]「加法性」と呼ばれる性質です。また「スカラー倍性」と「加法性」を兼ね備えた性質 \( E[aX + bY] = aE[X] + bE[Y] \) は、「線形性」と呼ばれます。： \( E[X + Y] = E[X] + E[Y] \)
確率変数の積^[3]\(\mathrm{Cov}(X, Y)\) は \(X, Y\) の共分散で、\(X, Y\) が独立な場合 \(\mathrm{Cov}(X, Y)=0\) です。： \( E[XY] = E[X]E[Y] + \mathrm{Cov}(X, Y) \)

脚注[+]

脚注
1	「スカラー倍性」と呼ばれる性質です。
2	「加法性」と呼ばれる性質です。また「スカラー倍性」と「加法性」を兼ね備えた性質 \( E[aX + bY] = aE[X] + bE[Y] \) は、「線形性」と呼ばれます。
3	\(\mathrm{Cov}(X, Y)\) は \(X, Y\) の共分散で、\(X, Y\) が独立な場合 \(\mathrm{Cov}(X, Y)=0\) です。