行列とは
行列（matrix）とは、数や記号を長方形に並べたものを表す数学的な概念です。行列の形は「行の数 × 列の数」で表されます。
1 行 \(n\) 列の行列、\(n\) 行 1 列の行列は、それぞれ行ベクトル、列ベクトルとみなせます[1]ベクトルは行列の特別な場合と考えることができます。あるいは、複数のベクトルを並べたものが行列と考えることもできます。。
例えば、2×2 行列は次のように表されます[2] … Continue reading。
\[
\mathbf{A} = \begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}
\end{pmatrix}
\]
ここで \(a_{ij}\) は \(i\) 行 \(j\) 列の成分です。
データセット（複数の特徴量と複数のサンプル）を表現するためのデータ行列や、重回帰モデルやニューラルネットワークモデルにおける重み行列など、行列はデータサイエンスにおける基盤的な概念のひとつです。
行列の和と差
同じサイズの行列 \(\mathbf{A} =
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}
\end{pmatrix}\), \(\mathbf{B} =
\begin{pmatrix}
b_{11} & b_{12} \\
b_{21} & b_{22}
\end{pmatrix}\) に対して、和と差は成分ごとに計算されます。
\[
\mathbf{A} + \mathbf{B} =
\begin{pmatrix}
a_{11} + b_{11} & a_{12} + b_{12} \\
a_{21} + b_{21} & a_{22} + b_{22}
\end{pmatrix},\quad
\mathbf{A} \mathbin{-} \mathbf{B} =
\begin{pmatrix}
a_{11} \mathbin{-} b_{11} & a_{12} \mathbin{-} b_{12} \\
a_{21} \mathbin{-} b_{21} & a_{22} \mathbin{-} b_{22}
\end{pmatrix}
\]
行列のスカラー倍
行列にスカラー \(k\) を掛けると、すべての成分が \(k\) 倍されます。
\[
k\mathbf{A} = \begin{pmatrix} ka_{11} & ka_{12} & \cdots & ka_{1n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ ka_{m1} & ka_{m2} & \cdots & ka_{mn} \end{pmatrix}
\]
行列積
\(\mathbf{A}\) を \(m \times n\) 行列、\(\mathbf{B}\) を \(n \times p\) 行列とすると、行列積 \(\mathbf{AB}\) は \(m \times p\) 行列になります。その \((i,j)\) 成分は、次のように定義されます。
\[
(\mathbf{AB})_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik} b_{kj}
\]
行列積について詳しくは、下の記事をご参照ください。
行列の転置
行列の転置（transpose）とは、行と列を入れ替える操作です。\(\mathbf{A}^T\) で表します。
\[
\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix}
\quad \Rightarrow \quad
\mathbf{A}^T = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6 \end{pmatrix}
\]
単位行列
単位行列（identity matrix）とは、対角成分がすべて 1 で、それ以外の成分が 0 である正方行列です。正方行列とは、行数と列数が等しい行列のことを指します。
2 次の単位行列は、次のように表されます。
\[
\mathbf{I} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
\]
逆行列
逆行列（inverse matrix）とは、ある正方行列 \(\mathbf{A}\) に対して
\[
\mathbf{A}\mathbf{A}^{-1} = \mathbf{A}^{-1}\mathbf{A} = \mathbf{I}
\]
を満たす行列のことです。逆行列を持つ正方行列を正則行列（invertible matrix）と呼びます。
行列の公式
- 行列の和：\((\mathbf{A} + \mathbf{B})_{ij} = a_{ij} + b_{ij}\)
- 行列の差：\((\mathbf{A} \mathbin{-} \mathbf{B})_{ij} = a_{ij} \mathbin{-} b_{ij}\)
- 行列のスカラー倍：\((k\mathbf{A})_{ij} = k a_{ij}\)
- 行列積：\((\mathbf{AB})_{ij} = \sum_{k=1}^n a_{ik} b_{kj}\)
- 転置：\((\mathbf{A}^T)_{ij} = a_{ji}\)
- 行列の和の転置：\((\mathbf{A} + \mathbf{B})^T = \mathbf{A}^T + \mathbf{B}^T\)
- 行列の差の転置：\((\mathbf{A} \mathbin{-} \mathbf{B})^T = \mathbf{A}^T \mathbin{-} \mathbf{B}^T\)
- 行列積の転置：\((\mathbf{AB})^T = \mathbf{B}^T \mathbf{A}^T\)
- 行列のスカラー倍の転置：\((k\mathbf{A})^T = k\mathbf{A}^T\)
- 単位行列（\(\mathbf{A}\) が正方行列の場合）：\(\mathbf{I} \mathbf{A} = \mathbf{A}\mathbf{I} = \mathbf{A}\)
