期待値と分散

期待値とは

期待値（expected value）とは、確率変数の理論的な平均値を表します。

離散型確率変数 \( X \) がとりうる値を \( x \)、確率質量関数を \( p(x) = P(X = x) \) とすると、期待値は次のように定義されます。

\[
E[X] = \sum_{x} x \, p(x)
\]

離散型確率変数がとりうる値が有限個の場合には、添字を使って次のようにも書けます。これは、各 \( p_i \) が \( p(x_i) \) に対応していることを意味します。

\[
E[X] = \sum_i x_i p_i
\]

たとえば、サイコロを1回投げたときに出る目 \( X \) の期待値は、次のように計算できます。

\[
E[X] = \frac{1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6}{6} = 3.5
\]

「サイコロを1回投げたとき、理論的な平均値は3.5」と考えることができます。

連続型確率変数 \( X \) がとりうる値を \( x \)、その確率密度関数を \( f(x) \) とすると、期待値は次のように定義されます。

\[
E[X] = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) \, dx
\]

分散（variance）とは、確率変数の値が期待値のまわりでどの程度ばらついているかを表す指標です。

確率変数 \( X \) の分散は、次のように定義されます^[1]分散を \( \mathrm{Var}(X) \) と表す場合もあります。。

\[
V[X] = E\bigl[(X-E[X])^2\bigr]
\]

この式は、「期待値からの偏差の二乗の平均」を意味します。展開すると、次のように書けます。

\[
V[X] = E[X^2]-(E[X])^2
\]

この形は、実際の計算でよく用いられます。

分散の平方根を標準偏差（standard deviation）と呼びます。分散が「ばらつきの2乗平均」であるのに対し、標準偏差は元の単位に戻した「ばらつきの平均的な大きさ」を表します。

\[
\sigma = \sqrt{V[X]}
\]

期待値と分散には、以下のような性質があります。

定数： \( E[c] = c \)、 \( V[c] = 0 \)
期待値の線形性： \( E[aX + bY] = aE[X] + bE[Y] \)
分散の加法性^[2]確率変数 \(X, Y\) が独立な場合にのみ成り立ちます。独立でない場合を含めた一般形は、\(V[X + Y] = V[X] + V[Y] + 2\,\mathrm{Cov}(X, Y)\) です。ここで … Continue reading： \( V[X + Y] = V[X] + V[Y] \)
分散のスケーリング性： \( V[aX] = a^2\,V[X] \)

脚注[+]

脚注
1	分散を \( \mathrm{Var}(X) \) と表す場合もあります。
2	確率変数 \(X, Y\) が独立な場合にのみ成り立ちます。独立でない場合を含めた一般形は、\(V[X + Y] = V[X] + V[Y] + 2\,\mathrm{Cov}(X, Y)\) です。ここで \(\mathrm{Cov}(X, Y)\) は確率変数 \(X, Y\) の共分散で、\(X, Y\) が独立な場合 \(\mathrm{Cov}(X, Y)=0\) です。