対数

対数とは

対数とは、ある数（底）を何回かければ（何乗すれば）目的の数（真数）になるかを表す数学的な概念です。式で表すと、次のようになります。$b$ を底、$x$ を真数と呼び、その対数の値が $y$ です^[1]対数の真数を $x$ を変数とした関数 $f(x)={\log }_{b}x$ が 対数関数です。。

$${\log }_{b}x={\log }_b{b}^y=y$$

例えば、$10$ を底、$1000$ を真数とする対数の値は $3$ です。

$${\log }_{10}1000={\log }_{10}{10}^3=3$$

対数は底の違いにより、次のように呼び分けられています。

自然対数（Natural logarithm）は底をネイピア数 $e$ とした場合で、数学上の取り扱いがしやすく、データサイエンスではもっともよく用いられています。$\ln$ という記号を用いて表すのが一般的です。

常用対数（Common logarithm）はデシベル（dB）という単位に代表されるような、10の累乗で大きくなるようなデータから桁を取り出す場合などに用いられます^[2]歴史的経緯から常用対数と呼ばれているものの、データサイエンスにおいては自然対数のほうが「常用」されています。。

二進対数（Binary logarithm）は情報理論において、情報量、エントロピー、ダイバジェーンスをビット（bit）の単位で計算する場合などに用いられます。

対数のグラフ

自然対数、常用対数、二進対数をグラフで表すと、次のようになります。

対数の性質

$b^0=1$ より、真数が $1$ のとき対数の値は $0$ になります。

$${\log }_{b}1=0(b>0,b\ne 1)$$

また下記式は一見複雑ですが、「$e$ を何乗すれば $a$ になるか」を対数記号で表したのが $\ln a$ のため、公式というよりは対数の定義そのものです。

$$a=e^{\ln a}(a>0)$$

さらに両辺を $x$ 乗すれば、下記式になります^[3]一般指数関数の微分の公式を導出する場合などに、本式変形が用いられます。。

$$a^x=e^{x\ln a}(a>0)$$

対数の公式

• 積の対数 $${\log }_b(xy)={\log }_{b}x+{\log }_{b}y(x>0,y>0,b>0,b\ne 1)$$
• 商の対数 $${\log }_b\left(\frac{x}{y}\right)={\log }_{b}x–{\log }_{b}y(x>0,y>0,b>0,b\ne 1)$$
• 累乗の対数 $${\log }_b(x^r)=r{\log }_{b}x(x>0,b>0,b\ne 1)$$
• 底の変換 $${\log }_{b}x=\frac{{\log }_{k}x}{{\log }_{k}b}(x>0,b>0,b\ne 1,k>0,k\ne 1)$$